16ª clase (27/04/2015)

Hasta ahora, hemos estado estudiando la respuesta temporal de los circuitos lineales. A partir de ahora, cambiamos nuestro punto de vista, para pasar a analizar la respuesta frecuencial de los circuitos. Para ello, utilizaremos una herramienta muy potente, los trazados de Bode.

Ejemplos de diagramas polos-ceros

Antes de empezar con Bode, es importante destacar que una función de red, como sabemos que es un cociente de polinomios, podemos descomponer su numerador y denominador en un producto de sus raíces, caracterizando una función de red por su constante multiplicativa, sus ceros (raíces del numerador) y sus polos (raíces del denominador). Con esto, podemos realizar el diagrama polos-ceros.

Una vez visto esto, procedemos a hablar sobre los trazados de Bode.

Hendrik Wade Bode redefinió la ganancia en decibelios como veinte veces el logaritmo de la función de red (es fácilmente demostrable) :

Después, propuso representar esta ganancia y el desfase en función del logaritmo de la pulsación. Por lo tanto, es importante saber que tendremos una escala logarítmica, donde se reservan espacios iguales a cada década. También se debe saber que, cuando la ganancia sea positiva se estará produciendo una amplificación y; cuando sea negativa, se estará produciendo una atenuación.

El trazado de Bode de una función de red estará formado por la suma de los trazados de sus raíces, por lo que es totalmente sensato elaborar una pequeña biblioteca con los trazados más habituales:

1. H(s)=k. En este caso, la ganancia será 20 veces el logaritmo de la constante k y el desfase será nulo.

2. H(s)=k/s. El trazado de ganancia será una recta de pendiente -20 dB por década, cruzando el eje de 0 dB a la pulsación k. El desfase será de -π/2.

3. H(s)=ks.  El trazado de ganancia será una recta de pendiente +20 dB por década, cruzando el eje de 0 dB a la pulsación 1/k. El desfase será de -π/2.

4. H(s)=1/(s/ωc+1). En este caso, el trazado tendrá dos tramos bien diferenciados: uno cuando la pulsación sea mucho más pequeña que la de corte (ωc) y otro cuando sea mucho más grande. Por mucho más grande o mucho más pequeño, entendemos un orden de magnitud.

La ganancia es 0 dB para pulsaciones inferiores a la de corte y a partir de dicha frecuencia, la ganancia decae a razón de 20 dB por década. El desfase es nulo para pulsaciones inferiores a la de corte y de -π/2 a partir de dicha frecuencia, siendo -π/4 a la pulsación de corte.

Es importante destacar que "nos podemos creer" el trazado de Bode a frecuencias como mínimo un orden de magnitud por encima o por debajo de la de corte, ya que es un trazado asintótico. Lo que ocurra en la frecuencia exacta de corte será un tema interesante en las próximas clases. En este caso, la ganancia en la frecuencia de corte es de -3 dB.

Cabe destacar que el comportamiento de este tipo de factores es el de un filtro paso bajo.