23ª clase (25/05/2015)

En esta clase hemos visto cómo, solamente mirando los polos de la función de red de un circuito, podemos deducir experimentalmente su comportamiento:

• Polos reales en el subplano negativo indican exponenciales decrecientes; mientras que polos reales en el subplano positivo indican exponenciales crecientes.
• Polos en el origen dan lugar a tensiones continuas.
• Polos complejos conjugados dan lugar a sinusoides decrecientes (en el subplano negativo) o sinusoides crecientes (en el subplano positivo)

Con todo esto, podemos clasificar los circuitos en tres tipos según su estabilidad:

• Circuitos estables. La respuesta propia se desvanece con el tiempo. Tienen polos en el subplano negativo.
• Circuitos inestables. La respuesta propia se hace mayor con el tiempo. Tienen polos en el subplano positivo.
• Circuitos marginalmente estables. Tienen polos en el eje imaginario.

Para ver si un circuito es estable, miramos el denominador de su función de red:

• Si es de primer o segundo orden, será estable si todos sus coeficientes son positivos y no falta ninguno.
• Si es de tercer orden, será del tipo as^3+bs^2+cs+d. Solo será estable si bc>ad (si bc=ad será marginalmente estable)

Finalmente vimos cómo encontrar la duración del régimen transitorio. Para ello, debemos mirar la exponencial que más tarda en extinguirse, que será del tipo:

Entonces, la duración del transitorio es 4τ.

22ª clase (21/05/2015)

A lo largo del curso hemos estudiado los circuitos cuando operan en régimen permanente, sin pararnos a analizar qué ocurre dicho régimen. Antes del régimen permanente hay una etapa llamada régimen transitorio. Después de este tema, ya sabremos estudiar la respuesta completa de un circuito.

Como ya sabemos, esta respuesta estará formada por la respuesta propia (régimen transitorio), que depende de los elementos del circuito y la respuesta forzada (régimen permanente), que tiene la misma forma y frecuencia que la excitación.

Para analizar el régimen transitorio se necesita resolver ecuaciones diferenciales. Para evitar tener que resolverlas directamente (es muy pesado), haremos uso de la transformación de Laplace. A lo largo de la clase fuimos viendo diversas transformadas de Laplace que nos serán útiles para transformar las excitaciones:

Con todo esto, podemos construir el circuito transformado de Laplace (CTL), donde todos los condensadores e inductores quedarán "resistivizados":

• El resistor no se verá modificado:

• El inductor tendrá una impedancia de valor Ls (como ya pasaba en el circuito transformado fasorial) en serie con una fuente de tensión de valor -Li(0), donde i(0) es el valor anterior de la corriente:

• El condensador tendrá una impedancia, como ya sabíamos, de valor 1/Cs en serie con una fuente de tensión de valor v(0)/s, donde v(0) es el valor anterior de la tensión:

Por lo tanto, para resolver un circuito: encontraremos el CTL, realizaremos los cálculos pertinentes y finalmente volveremos al dominio temporal (antitransformación).

Si no podemos antitransformar directamente, deberemos descomponer nuestra función en fracciones simples, lo que ya nos permitirá volver fácilmente al dominio temporal.

21ª clase (18/05/2015)

En esta clase vimos unos cuantos complementos a lo que ya habíamos visto sobre Fourier.

Algo interesante, es que podemos expresar las tensiones en dBμV, lo que nos facilita el análisis de los circuitos, ya que ya no hace falta extraer la función de red del trazado de Bode:

Una pregunta que nos podemos plantear es: ¿Cuándo paro de calcular armónicos? La respuesta es que un armónico se considera despreciable cuando su amplitud está dos ordenes de magnitud por debajo de la del armónico fundamental.

Finalmente, es posible encontrar el valor eficaz de la respuesta a partir de las amplitudes de sus armónicos:

20ª clase (11/05/2015)

A partir de esta clase ya nos planteamos qué ocurre cuando tenemos una excitación no senoidal. La solución a ello es aplicar Fourier.

Fourier nos dice que cualquier tensión periódica puede ser descompuesta en una suma de sinusoides armónicamente relacionadas, a las que llamamos armónicos, siendo el armónico fundamental el que tiene la misma frecuencia que la excitación.












También vimos lo útil que es buscar la representación espectral de las tensiones, que nos es muy útil para trabajar con las tensiones periódicas.

Después vimos como ejemplos la tensión cuadrada y la triangular. La tensión cuadrada, por ejemplo, solo tiene armónicos pares, de amplitud 2Vm/nπ, todos con un desfase de -π/2. La amplitud de los armónicos de la tensión triangular decrece a razón de 1/n^2.

Para aplicar todo esto al análisis de circuito, hemos de seguir los siguientes pasos:

1. Encontrar la representación espectral de la excitación
2. Encontrar el trazado de Bode del circuito.
3. Sabiendo la amplitud de la excitación y la función de red a cada frecuencia, vamos encontrando el trazado de Bode de la respuesta.
4. Si queremos ver la respuesta temporal, deberemos utilizar algun graficador de funciones por ordenador.

Finalmente, hicimos ejercicios en los que vimos la utilidad de todo lo explicado, como obtener el valor medio de una tensión periódica.

19ª clase (07/05/2015)

En esta clase realizamos ejercicios sobre trazados de Bode con picos de resonancia e introducimos el nuevo tema pero, para que quede mejor plasmado en el blog, juntaré esa pequeña introducción con la siguiente clase.

18ª clase (04/05/2015)

El objetivo de esta clase fue analizar cómo se producen los picos de resonancia. Para ello, es conveniente estudiar las funciones de red con polinomios de segundo orden en el denominador e incluso añadir un nuevo factor a nuestra particular biblioteca de trazados de Bode.

En este caso, la ganancia es nula a frecuencias inferiores a la de corte y decrece a razón de 40 dB/década a partir de la frecuencia de corte. Su desfase es nulo a frecuencias inferiores a la de corte y de -π a frecuencias mayores a la de corte, siendo -π/2 a la de corte.

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Podemos observar que es como un filtro paso bajo pero "más fuerte", es un filtro paso bajo de segundo orden.

Ahora nos interesa ver qué ocurre exactamente a la frecuencia de corte. Para ello, vamos variando el valor de  ρ y observamos que para ρ<1/2, la ganancia en la frecuencia de corte es positiva, es decir, se produce un pico de resonancia. En ese pico se alcanzará una ganancia mucho mayor a la que encontramos en otras frecuencias próximas.

Una vez sabemos esto, podemos definir el ancho de banda, que es el rango de frecuencias en los que la ganancia no cae más de 3 dB respecto a la ganancia alcanzada en el pico. Obviamente nos interesa que sea lo más estrecho posible. El ancho de banda tiene una frecuencia de corte inferior y una de corte superior.

Ahora queremos calificar "lo bueno" que es un pico de resonancia (obviamente, no es lo mismo un ancho de banda de 1 Hz en un pico de 1 MHz que en uno de 100 MHz). Para ello, definimos el factor de calidad, que nos interesa que sea lo mayor posible:

Es importante saber que la segunda fórmula para calcular el factor de calidad sólo es válida si ρ es menor o igual a 0.1.

17ª clase (30/05/2015)

Esta clase estuvo dedicada completamente a la realización de ejercicios sobre trazados de Bode. Por ejemplo, vimos los trazados de Bode del filtro paso alto y el filtro paso bajo con amplificación.

16ª clase (27/04/2015)

Hasta ahora, hemos estado estudiando la respuesta temporal de los circuitos lineales. A partir de ahora, cambiamos nuestro punto de vista, para pasar a analizar la respuesta frecuencial de los circuitos. Para ello, utilizaremos una herramienta muy potente, los trazados de Bode.

Ejemplos de diagramas polos-ceros

Antes de empezar con Bode, es importante destacar que una función de red, como sabemos que es un cociente de polinomios, podemos descomponer su numerador y denominador en un producto de sus raíces, caracterizando una función de red por su constante multiplicativa, sus ceros (raíces del numerador) y sus polos (raíces del denominador). Con esto, podemos realizar el diagrama polos-ceros.

Una vez visto esto, procedemos a hablar sobre los trazados de Bode.

Hendrik Wade Bode redefinió la ganancia en decibelios como veinte veces el logaritmo de la función de red (es fácilmente demostrable) :

Después, propuso representar esta ganancia y el desfase en función del logaritmo de la pulsación. Por lo tanto, es importante saber que tendremos una escala logarítmica, donde se reservan espacios iguales a cada década. También se debe saber que, cuando la ganancia sea positiva se estará produciendo una amplificación y; cuando sea negativa, se estará produciendo una atenuación.

El trazado de Bode de una función de red estará formado por la suma de los trazados de sus raíces, por lo que es totalmente sensato elaborar una pequeña biblioteca con los trazados más habituales:

1. H(s)=k. En este caso, la ganancia será 20 veces el logaritmo de la constante k y el desfase será nulo.

2. H(s)=k/s. El trazado de ganancia será una recta de pendiente -20 dB por década, cruzando el eje de 0 dB a la pulsación k. El desfase será de -π/2.

3. H(s)=ks.  El trazado de ganancia será una recta de pendiente +20 dB por década, cruzando el eje de 0 dB a la pulsación 1/k. El desfase será de -π/2.

4. H(s)=1/(s/ωc+1). En este caso, el trazado tendrá dos tramos bien diferenciados: uno cuando la pulsación sea mucho más pequeña que la de corte (ωc) y otro cuando sea mucho más grande. Por mucho más grande o mucho más pequeño, entendemos un orden de magnitud.

La ganancia es 0 dB para pulsaciones inferiores a la de corte y a partir de dicha frecuencia, la ganancia decae a razón de 20 dB por década. El desfase es nulo para pulsaciones inferiores a la de corte y de -π/2 a partir de dicha frecuencia, siendo -π/4 a la pulsación de corte.

Es importante destacar que "nos podemos creer" el trazado de Bode a frecuencias como mínimo un orden de magnitud por encima o por debajo de la de corte, ya que es un trazado asintótico. Lo que ocurra en la frecuencia exacta de corte será un tema interesante en las próximas clases. En este caso, la ganancia en la frecuencia de corte es de -3 dB.

Cabe destacar que el comportamiento de este tipo de factores es el de un filtro paso bajo.

15ª clase (20/04/2015)

En la clase anterior, vimos el concepto teórico del transformador, pero ¿cómo se lleva a cabo eso a la realidad?

El funcionamiento del transformador se basa en la ley de Ampère, que dice que al devanar un par de hilos de cobre sobre un núcleo de material ferromagnético, si se hace circular corriente por el primario, se inducirá un corriente en el secundario.

Formato físico del transformador

Símbolo del transformador real

La inductancia de cada devanado depende del material del núcleo y su geometría (parámetro k) y el número de espiras (L=k*N^2). En este caso, el parámetro n del que hablábamos en la clase anterior:

El modelo circuital del transformador real es un transformador ideal con un inductor en paralelo con el devanado primario:

Modelo circuital

Con estos conocimientos, ya podemos resolver el problema de extraer la potencia máxima disponible de un generador igualando las resistencias de entrada y salida.

1. Sabiendo que la resistencia de entrada sera n^2 veces la de salida, escogemos una n que nos permita satisfacer la igualdad.
2. Después debemos suprimir el inductor que tenemos en paralelo con el primario. Una opción sería conseguir que la inductancia L1 fuera muy alta, para lo que necesitaríamos una k del material muy alta y muchas espiras, lo que saldría muy caro. Por lo tanto, la opción más sensata es, sabiendo la frecuencia a la que opera el circuito, añadir un condensador en paralelo tal que se cumpla que:

Para finalizar este tema, vimos como adaptar impedancias en el caso general:

Se usa la adaptación conjugada, la impedancia de salida debe ser el complejo conjugado de la impedancia de entrada:

14ª clase (16/04/2015)

En esta clase, introducimos una nueva unidad de potencia hasta ahora desconocida para nosotros, el dBm, muy utilizada en ingeniería de telecomunicaciones. Conceptualmente, es como comparar la potencia con 1 mW:

También vimos el concepto de ganancia en decibelios:

Si es positiva, se gana potencia en el circuito. En el caso contrario, se pierde.

También vimos cuál es la potencia máxima disponible de un generador e introducimos el problema de cómo extraerla:

Para extraerla, necesitamos tener una resistencia de carga (la de salida) que sea igual que la de entrada (Rg). En este caso, decimos que hay adaptación. Para conseguir esta igualdad, muchas veces necesitaremos el uso del transformador.

Desde un punto de vista teórico, el transformador es un dispositivo con un puerto de entrada y otro de salida relacionados por un coeficiente n:

El transformador tiene una serie de propiedades interesantes, como por ejemplo:

1. Permite obtener un generador arbitrario (conectando un generador de 1 V en el terminal de salida, obtenemos un generador de n V en el de entrada)
2. Es transparente al flujo de potencia (la potencia de entrada es igual a la de salida)
3. La impedancia de entrada será n^2 veces la de salida (por eso también recibe el nombre de conversor positivo de impedancias)