23ª clase (25/05/2015)

En esta clase hemos visto cómo, solamente mirando los polos de la función de red de un circuito, podemos deducir experimentalmente su comportamiento:

• Polos reales en el subplano negativo indican exponenciales decrecientes; mientras que polos reales en el subplano positivo indican exponenciales crecientes.
• Polos en el origen dan lugar a tensiones continuas.
• Polos complejos conjugados dan lugar a sinusoides decrecientes (en el subplano negativo) o sinusoides crecientes (en el subplano positivo)

Con todo esto, podemos clasificar los circuitos en tres tipos según su estabilidad:

• Circuitos estables. La respuesta propia se desvanece con el tiempo. Tienen polos en el subplano negativo.
• Circuitos inestables. La respuesta propia se hace mayor con el tiempo. Tienen polos en el subplano positivo.
• Circuitos marginalmente estables. Tienen polos en el eje imaginario.

Para ver si un circuito es estable, miramos el denominador de su función de red:

• Si es de primer o segundo orden, será estable si todos sus coeficientes son positivos y no falta ninguno.
• Si es de tercer orden, será del tipo as^3+bs^2+cs+d. Solo será estable si bc>ad (si bc=ad será marginalmente estable)

Finalmente vimos cómo encontrar la duración del régimen transitorio. Para ello, debemos mirar la exponencial que más tarda en extinguirse, que será del tipo:

Entonces, la duración del transitorio es 4τ.

22ª clase (21/05/2015)

A lo largo del curso hemos estudiado los circuitos cuando operan en régimen permanente, sin pararnos a analizar qué ocurre dicho régimen. Antes del régimen permanente hay una etapa llamada régimen transitorio. Después de este tema, ya sabremos estudiar la respuesta completa de un circuito.

Como ya sabemos, esta respuesta estará formada por la respuesta propia (régimen transitorio), que depende de los elementos del circuito y la respuesta forzada (régimen permanente), que tiene la misma forma y frecuencia que la excitación.

Para analizar el régimen transitorio se necesita resolver ecuaciones diferenciales. Para evitar tener que resolverlas directamente (es muy pesado), haremos uso de la transformación de Laplace. A lo largo de la clase fuimos viendo diversas transformadas de Laplace que nos serán útiles para transformar las excitaciones:

Con todo esto, podemos construir el circuito transformado de Laplace (CTL), donde todos los condensadores e inductores quedarán "resistivizados":

• El resistor no se verá modificado:

• El inductor tendrá una impedancia de valor Ls (como ya pasaba en el circuito transformado fasorial) en serie con una fuente de tensión de valor -Li(0), donde i(0) es el valor anterior de la corriente:

• El condensador tendrá una impedancia, como ya sabíamos, de valor 1/Cs en serie con una fuente de tensión de valor v(0)/s, donde v(0) es el valor anterior de la tensión:

Por lo tanto, para resolver un circuito: encontraremos el CTL, realizaremos los cálculos pertinentes y finalmente volveremos al dominio temporal (antitransformación).

Si no podemos antitransformar directamente, deberemos descomponer nuestra función en fracciones simples, lo que ya nos permitirá volver fácilmente al dominio temporal.

21ª clase (18/05/2015)

En esta clase vimos unos cuantos complementos a lo que ya habíamos visto sobre Fourier.

Algo interesante, es que podemos expresar las tensiones en dBμV, lo que nos facilita el análisis de los circuitos, ya que ya no hace falta extraer la función de red del trazado de Bode:

Una pregunta que nos podemos plantear es: ¿Cuándo paro de calcular armónicos? La respuesta es que un armónico se considera despreciable cuando su amplitud está dos ordenes de magnitud por debajo de la del armónico fundamental.

Finalmente, es posible encontrar el valor eficaz de la respuesta a partir de las amplitudes de sus armónicos:

20ª clase (11/05/2015)

A partir de esta clase ya nos planteamos qué ocurre cuando tenemos una excitación no senoidal. La solución a ello es aplicar Fourier.

Fourier nos dice que cualquier tensión periódica puede ser descompuesta en una suma de sinusoides armónicamente relacionadas, a las que llamamos armónicos, siendo el armónico fundamental el que tiene la misma frecuencia que la excitación.












También vimos lo útil que es buscar la representación espectral de las tensiones, que nos es muy útil para trabajar con las tensiones periódicas.

Después vimos como ejemplos la tensión cuadrada y la triangular. La tensión cuadrada, por ejemplo, solo tiene armónicos pares, de amplitud 2Vm/nπ, todos con un desfase de -π/2. La amplitud de los armónicos de la tensión triangular decrece a razón de 1/n^2.

Para aplicar todo esto al análisis de circuito, hemos de seguir los siguientes pasos:

1. Encontrar la representación espectral de la excitación
2. Encontrar el trazado de Bode del circuito.
3. Sabiendo la amplitud de la excitación y la función de red a cada frecuencia, vamos encontrando el trazado de Bode de la respuesta.
4. Si queremos ver la respuesta temporal, deberemos utilizar algun graficador de funciones por ordenador.

Finalmente, hicimos ejercicios en los que vimos la utilidad de todo lo explicado, como obtener el valor medio de una tensión periódica.

19ª clase (07/05/2015)

En esta clase realizamos ejercicios sobre trazados de Bode con picos de resonancia e introducimos el nuevo tema pero, para que quede mejor plasmado en el blog, juntaré esa pequeña introducción con la siguiente clase.

18ª clase (04/05/2015)

El objetivo de esta clase fue analizar cómo se producen los picos de resonancia. Para ello, es conveniente estudiar las funciones de red con polinomios de segundo orden en el denominador e incluso añadir un nuevo factor a nuestra particular biblioteca de trazados de Bode.

En este caso, la ganancia es nula a frecuencias inferiores a la de corte y decrece a razón de 40 dB/década a partir de la frecuencia de corte. Su desfase es nulo a frecuencias inferiores a la de corte y de -π a frecuencias mayores a la de corte, siendo -π/2 a la de corte.

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Podemos observar que es como un filtro paso bajo pero "más fuerte", es un filtro paso bajo de segundo orden.

Ahora nos interesa ver qué ocurre exactamente a la frecuencia de corte. Para ello, vamos variando el valor de  ρ y observamos que para ρ<1/2, la ganancia en la frecuencia de corte es positiva, es decir, se produce un pico de resonancia. En ese pico se alcanzará una ganancia mucho mayor a la que encontramos en otras frecuencias próximas.

Una vez sabemos esto, podemos definir el ancho de banda, que es el rango de frecuencias en los que la ganancia no cae más de 3 dB respecto a la ganancia alcanzada en el pico. Obviamente nos interesa que sea lo más estrecho posible. El ancho de banda tiene una frecuencia de corte inferior y una de corte superior.

Ahora queremos calificar "lo bueno" que es un pico de resonancia (obviamente, no es lo mismo un ancho de banda de 1 Hz en un pico de 1 MHz que en uno de 100 MHz). Para ello, definimos el factor de calidad, que nos interesa que sea lo mayor posible:

Es importante saber que la segunda fórmula para calcular el factor de calidad sólo es válida si ρ es menor o igual a 0.1.

17ª clase (30/05/2015)

Esta clase estuvo dedicada completamente a la realización de ejercicios sobre trazados de Bode. Por ejemplo, vimos los trazados de Bode del filtro paso alto y el filtro paso bajo con amplificación.

16ª clase (27/04/2015)

Hasta ahora, hemos estado estudiando la respuesta temporal de los circuitos lineales. A partir de ahora, cambiamos nuestro punto de vista, para pasar a analizar la respuesta frecuencial de los circuitos. Para ello, utilizaremos una herramienta muy potente, los trazados de Bode.

Ejemplos de diagramas polos-ceros

Antes de empezar con Bode, es importante destacar que una función de red, como sabemos que es un cociente de polinomios, podemos descomponer su numerador y denominador en un producto de sus raíces, caracterizando una función de red por su constante multiplicativa, sus ceros (raíces del numerador) y sus polos (raíces del denominador). Con esto, podemos realizar el diagrama polos-ceros.

Una vez visto esto, procedemos a hablar sobre los trazados de Bode.

Hendrik Wade Bode redefinió la ganancia en decibelios como veinte veces el logaritmo de la función de red (es fácilmente demostrable) :

Después, propuso representar esta ganancia y el desfase en función del logaritmo de la pulsación. Por lo tanto, es importante saber que tendremos una escala logarítmica, donde se reservan espacios iguales a cada década. También se debe saber que, cuando la ganancia sea positiva se estará produciendo una amplificación y; cuando sea negativa, se estará produciendo una atenuación.

El trazado de Bode de una función de red estará formado por la suma de los trazados de sus raíces, por lo que es totalmente sensato elaborar una pequeña biblioteca con los trazados más habituales:

1. H(s)=k. En este caso, la ganancia será 20 veces el logaritmo de la constante k y el desfase será nulo.

2. H(s)=k/s. El trazado de ganancia será una recta de pendiente -20 dB por década, cruzando el eje de 0 dB a la pulsación k. El desfase será de -π/2.

3. H(s)=ks.  El trazado de ganancia será una recta de pendiente +20 dB por década, cruzando el eje de 0 dB a la pulsación 1/k. El desfase será de -π/2.

4. H(s)=1/(s/ωc+1). En este caso, el trazado tendrá dos tramos bien diferenciados: uno cuando la pulsación sea mucho más pequeña que la de corte (ωc) y otro cuando sea mucho más grande. Por mucho más grande o mucho más pequeño, entendemos un orden de magnitud.

La ganancia es 0 dB para pulsaciones inferiores a la de corte y a partir de dicha frecuencia, la ganancia decae a razón de 20 dB por década. El desfase es nulo para pulsaciones inferiores a la de corte y de -π/2 a partir de dicha frecuencia, siendo -π/4 a la pulsación de corte.

Es importante destacar que "nos podemos creer" el trazado de Bode a frecuencias como mínimo un orden de magnitud por encima o por debajo de la de corte, ya que es un trazado asintótico. Lo que ocurra en la frecuencia exacta de corte será un tema interesante en las próximas clases. En este caso, la ganancia en la frecuencia de corte es de -3 dB.

Cabe destacar que el comportamiento de este tipo de factores es el de un filtro paso bajo.

15ª clase (20/04/2015)

En la clase anterior, vimos el concepto teórico del transformador, pero ¿cómo se lleva a cabo eso a la realidad?

El funcionamiento del transformador se basa en la ley de Ampère, que dice que al devanar un par de hilos de cobre sobre un núcleo de material ferromagnético, si se hace circular corriente por el primario, se inducirá un corriente en el secundario.

Formato físico del transformador

Símbolo del transformador real

La inductancia de cada devanado depende del material del núcleo y su geometría (parámetro k) y el número de espiras (L=k*N^2). En este caso, el parámetro n del que hablábamos en la clase anterior:

El modelo circuital del transformador real es un transformador ideal con un inductor en paralelo con el devanado primario:

Modelo circuital

Con estos conocimientos, ya podemos resolver el problema de extraer la potencia máxima disponible de un generador igualando las resistencias de entrada y salida.

1. Sabiendo que la resistencia de entrada sera n^2 veces la de salida, escogemos una n que nos permita satisfacer la igualdad.
2. Después debemos suprimir el inductor que tenemos en paralelo con el primario. Una opción sería conseguir que la inductancia L1 fuera muy alta, para lo que necesitaríamos una k del material muy alta y muchas espiras, lo que saldría muy caro. Por lo tanto, la opción más sensata es, sabiendo la frecuencia a la que opera el circuito, añadir un condensador en paralelo tal que se cumpla que:

Para finalizar este tema, vimos como adaptar impedancias en el caso general:

Se usa la adaptación conjugada, la impedancia de salida debe ser el complejo conjugado de la impedancia de entrada:

14ª clase (16/04/2015)

En esta clase, introducimos una nueva unidad de potencia hasta ahora desconocida para nosotros, el dBm, muy utilizada en ingeniería de telecomunicaciones. Conceptualmente, es como comparar la potencia con 1 mW:

También vimos el concepto de ganancia en decibelios:

Si es positiva, se gana potencia en el circuito. En el caso contrario, se pierde.

También vimos cuál es la potencia máxima disponible de un generador e introducimos el problema de cómo extraerla:

Para extraerla, necesitamos tener una resistencia de carga (la de salida) que sea igual que la de entrada (Rg). En este caso, decimos que hay adaptación. Para conseguir esta igualdad, muchas veces necesitaremos el uso del transformador.

Desde un punto de vista teórico, el transformador es un dispositivo con un puerto de entrada y otro de salida relacionados por un coeficiente n:

El transformador tiene una serie de propiedades interesantes, como por ejemplo:

1. Permite obtener un generador arbitrario (conectando un generador de 1 V en el terminal de salida, obtenemos un generador de n V en el de entrada)
2. Es transparente al flujo de potencia (la potencia de entrada es igual a la de salida)
3. La impedancia de entrada será n^2 veces la de salida (por eso también recibe el nombre de conversor positivo de impedancias)

13a clase (13/04/2015)

En esta clase nos dedicamos básicamente a realizar ejercicios para poner en práctica los conocimientos previamente explicados sobre potencia.

A medida que vamos haciendo ejercicios, descubrimos que se puede aplicar superposición en el cálculo de potencias.

También aprendemos a calcular la potencia media de un bipolo:

12a clase (09/05/2015)

Al comenzar la clase vimos la utilidad que puede tener el uso de un AO sin realimentación. Cuando eso sucede, la solución cae en la zona de saturación positiva (Vo=Vcc) si la entrada positiva es mayor que la negativa, y viceversa. Por lo tanto, la salida será del estilo:

Donde Sign(x) es una función que vale 1 si x es positiva y -1 si es negativa. En este caso decimos que el AO actúa como un comparador.

A partir de este concepto fuimos viendo sus diversas utilidades, como un circuito temporizador. Se puede añadir un potenciómetro al circuito para poder variar la tensión con la que comparamos y también puede añadirse un diodo LED para comprobar visualmente la comparación.

Para cerrar el capítulo del amplificador operacional, vimos una pequeña prueba que podemos realizar en el caso que tengamos dudas en la polarización de un AO. Para ello, debemos probar en los dos polarizaciones las soluciones Vo=0, Vo=Vcc y Vo=-Vcc. Si las tres soluciones son posibles, la polarización es errónea.

En la segunda parte de la clase, cambiamos totalmente de tema, para pasar a dedicarnos al tema de la potencia. Sabemos que la fórmula básica de la potencia es:

Aun así, muchas veces nos interesa saber la potencia media, para lo que necesitamos conocer un valor medio de la tensión:

• Valor medio

• Valor en media cuadrática

El valor en media cuadrática nos es útil ya que no vale 0 cuando una función es senoidal, como sí ocurre con el valor medio.

Terminamos la clase recordando que en una resistencia:

En condensadores e inductores no se disipa potencia.

11a clase (26/03/2015)

Empezamos la clase viendo que podemos obtener el macromodelo de cualquier circuito con amplificadores operacionales, es decir, su descripción mediante los elementos de "nuestra biblioteca de componentes"

Analizando el macromodelo del amplificador no inversor llegamos a la conclusión de que podemos considerarlo ideal, ya que el hecho de tener una resistencia de entrada infinita evita que el circuito conectado a su entrada sea modificado y, por lo tanto, la señal no se perturba al ser amplificada. Este fenómeno no se produce en el resto de circuitos y, por lo tanto, necesitamos alguna manera de solucionar este problema.

La solución consiste en buscar un amplificador no inversor con amplificación igual a la unidad. Este hecho se produce cuando R2=0 (recordemos que en un AO no inversor: Vo=Vin(1+R2/R1) ) y por lo tanto, R1 puede ser un valor cualquiera. Para mayor comodidad, proponemos R1=infinito, provocando un circuito abierto.

Acabamos de obtener un seguidor de tensión, elemento que añadiremos antes de la entrada de cualquier circuito con AOs (excepto el no inversor) con el fin de no perturbar la señal.

Seguidor de tensión

Todo lo visto hasta ahora en relación a los amplificadores operacionales nos abre las puertas del procesado analógico de señal. Muchas veces, a la hora de tratar señales, necesitaremos realizar numerosas operaciones matemáticas, que serán realizadas por amplificadores operacionales (de ahí que lleven la palabra operacional en su nombre).

Lo primero que hacemos al diseñar un circuito para procesar una señal es realizar un diagrama de bloques, en el que cada bloque representará una operación matemática, siendo imprescindible que la salida de cada bloque sea un AO. Por lo tanto, ahora nos definiremos nuestra "biblioteca de bloques" para realizar dichas operaciones:

1. Divisor de tensión (multiplicación por k<1)

Formado por un divisor de tensión como el que ya conocemos y un seguidor de tensión para no alterar la señal. La formula es la misma que en el divisor  de tensión convencional.

2.Amplificador (multiplicación por k>1)

Formado únicamente por un amplificador no inversor.

3. Inversor

Formado por un amplificador inversor como el que ya conocemos, con sus dos resistores iguales.

Vout= -V

4. Restador 

Vout=V1 - V2

5. Integrador

6. Derivador

Es el integrador intercambiando las posiciones del resistor y el condensador. La salida no sale negativa.

Cabe destacar que los AOs funcionan a la perfección a frecuencias inferiores a 1 MHz, como por ejemplo las del audio. Para frecuencias mayores, es necesario el uso de transistores.

Finalmente, introducimos el concepto de potenciómetro, un resistor variable que nos permite realizar divisores de tensión variables.

Símbolo del potenciómetro

El potenciómetro como
divisor de tensión

10a clase (23/03/2015)

Hasta ahora sabemos resolver circuitos con AOs mediante la reconducción a un amplificador inversor o no inversor, pero ¿qué pasa si queremos resolver cualquier circuito? Entonces necesitamos aplicar un análisis sistemático.

Este análisis sistemático se realiza de una manera muy similar a como lo veníamos haciendo hasta ahora. Simplemente es cuestión de aplicar KCLs (principalmente en los nodos de V+ y V-), teniendo en cuenta que no es necesario aplicarlo a la salida. A todo eso, le añadimos la ecuación del cortocircuito virtual ( V+= V-). Con esas ecuaciones, ya podemos analizar correctamente el circuito.

Mediante el análisis sistemático, abordamos el análisis de un circuito de especial relevancia, el integrador:

Circuito integrador

Ecuación característica del circuito

Este circuito es muy relevante, ya que nos permite obtener la duración de un intervalo, muy útil para realizar circuitos temporizadores.

Finalmente, cabe destacar que si intercambiamos la posición de la resistencia y el condensador en la segunda etapa, obtenemos el circuito derivador.

9a clase (19/03/2015)

En esta clase hemos visto nuestros "circuitos referencia" en lo que a amplificadores operacionales se refiere, el amplificador no inversor y el amplificador inversor:

A partir de ahora, intentaremos siempre reconducir nuestros circuitos con AO a estos dos circuitos, tal  como hacíamos con el divisor de tensión.

También vimos que los circuitos con AOs pueden conectarse en cascada, conectando la salida de uno a la entrada de otro.

A partir de ahí, vimos circuitos interesantes, como el sumador y el restador, que nos sirven para que, teniendo dos excitaciones, la salida sea su suma y su diferencia, respectivamente.

Circuito sumador

Después vimos una nueva versión del conocido filtro paso bajo, esta vez realizado con amplificadores operacionales, lo que nos es mucho más útil, ya que, al contrario de lo que sucedía en la otra versión, podemos conectar cualquier cosa a la salida y el circuito no se verá modificado.

Filtro paso bajo con AO